β }, Soit u une variable aléatoire de loi uniforme sur [a , b] et de densité ω | μ {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x} ( a a a ( = 10 {\displaystyle f(\mu )=0} + f j La méthode de Simpson est basée sur un polynôme de degré 2 (intégrale d’une parabole), tout en restant exacte pour des polynômes de degré 3 ; elle est donc d’ordre 3 : Remarque : comme la méthode du point milieu qui caractérise un polynôme de degré 0 et qui reste exacte pour tout polynôme de degré 1, la méthode de Simpson caractérise un polynôme de degré 2 et reste exacte pour tout polynôme de degré 3. x − , a Cependant, ne s’agissant pas d’une formule de quadrature, l’erreur ne peut pas être majorée avec certitude par une quantité décroissante avec le nombre de tirages. Si ξ est le point d’interpolation, la formule est la suivante : Le choix de ξ influence l’erreur E(f) = I – I(f) : Ainsi, le choix du point milieu améliore l’ordre de la méthode : celle du rectangle est exacte (c’est-à-dire E(f) = 0) pour les fonctions constantes alors que celle du point milieu est exacte pour les polynômes de degré 1. a [ En fait, à chaque groupe de q tirages correspond une estimation particulière de l’intégrale, c'est-à-dire une réalisation d’une variable aléatoire Iq(f) dont la distribution dépend de f, de [a, b] et de q. h a Méthode de calcul d'intégrale à une dimension, Mise en œuvre : décomposition de l'intervalle en morceaux, Formules utilisant des valeurs des dérivées de la fonction, Lien entre ordre de la formule de quadrature et convergence de la méthode, Généralisation : formules de Newton-Cotes NC-, Méthode de calcul d'intégrale de forme particulière, Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions, Erreur de la méthode de quadrature de Gauss. b z J Considérons une intégrale définie Le calcul numérique d’une intégrale par une méthode de quadrature consiste à utiliser une approximation de l’intégrale sur chaque intervalle [x i;x i+1] qui s’exprime en fonction des valeurs de fsur ses deux bornes, et éventuellement sur d… x avec x b ( N ] Retour haut de page. En se plaçant dans le cadre général d'une méthode d'intégration numérique, l'erreur commise s'exprime sous la forme : L'erreur peut être calculée par l'intégrale d'une fonction liée à l'erreur, appelée noyau de Peano : Théorème — On suppose que la méthode d'intégration est d'ordre n. Si t (soit l’espace des fonctions m + 1 fois dérivables dont la dérivée m + 1 est continue par morceaux), notons , ( f Pour intégrer une fonction f sur un intervalle [a , b], la méthode de Monte-Carlo est ici mentionnée à titre « presque anecdotique » : sa performance reste en effet très limitée et son coût de traitement élevé à cause du grand nombre d’évaluations de f qui sont nécessaires pour espérer obtenir un résultat significatif. 0 A l’aide du théorème de Taylor, pour tout , ceci avec une grande économie du nombre d’évaluations de la fonction (précisément 2n + 1 évaluations). Notons Ji l’un des intervalles, puis gi(u) la fonction f (u) restreinte à Ji après soustraction d’une constante égale à la moyenne de f sur Ji. = h − ) ] = ∈ b . γ Création le 15 Oct 2012. π {\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+hk+hx_{i})} f L’ordre du calcul des termes de cette double somme et certains arrangements permettent le plus souvent de réduire le nombre d’opérations (évaluations de f (.) α 2 Supposons en effet que le nombre q de tirages soit imposé (limitation de l’effort de traitement). ( , Integration (scipy.integrate)¶The scipy.integrate sub-package provides several integration techniques including an ordinary differential equation integrator. [ [ a ≤ ) ( ( | + + Partant d’une décomposition régulière de [a , b] en n sous-intervalles de longueur h = (b – a)/n, soit les intervalles Jk = [a + k h, \, a + (k+1) h] pour 0 ≤ k < n, l’application de la formule de quadrature précédente à chaque Jk s’effectue à l’aide d’une transformation affine, permettant ainsi d’obtenir une approximation In(f) de i qui s’écrit : Cette relation est la formule composite associée à une formule de quadrature générale. {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} En interpolant f par un polynôme de degré 2 (3 degrés de liberté), 3 points (ou conditions) sont nécessaires pour le caractériser : les valeurs aux extrémités a, b, et celle choisie en leur milieu m = (a + b) / 2. , O f Par conséquent. {\displaystyle I_{[0,1]}(g)=\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,g(x_{i})} b = {\displaystyle f\in C^{n+1}([a,b])} 2 ( ( + b On appelle formule composite l’expression caractérisant cette estimation. ) σ ) μ {\displaystyle \sigma (E_{q}(f))} ( ( ] g ) log , ( 1 I ( − g b Alors le noyau de Peano K2m+1 est positif et pour tout ( On notera ici NC-m la méthode basée sur m points : Pour des questions d’instabilité numérique provenant en particulier du phénomène de Runge, il est cependant préférable de limiter le degré m du polynôme d'interpolation, quitte à subdiviser l'intervalle en sous-intervalles. 1 x f + ) Avec m points, il en découle une méthode. = 2 0 C Puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, on peut supposer sans restreindre la généralité que l’intégrale de f est nulle. m 2 Ce procédé permet ainsi une généralisation des résultats précédents. 0 On utilise maintenant le 3e résultat pour caractériser l’erreur d’intégration de f sur Ji issue de qi tirages, soit
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